João Carlos C. B. Soares de Mello *

Eliane Gonçalves Gomes †

Luiz Biondi Neto ‡

Marcos Pereira Estellita Lins §

* Depto. de Engenharia de Produção - Universidade Federal Fluminense - Brasil

jcsmello@sapo.pt

† Embrapa Monitoramento por Satélite - Brasil

eliane@cnpm.embrapa.br

  ‡ Depto. de Eletrônica e Telecomunicações - Universidade do Estado do Rio de Janeiro - Brasil

  § Programa de Engenharia de Produção - Universidade Federal do Rio de Janeiro - Brasil

lins@pep.ufrj.br

Title: A smoothed frontier for the 3-dimensional BCC-DEA model

Abstract:

The multipliers DEA model has multiple optimal solutions in the extreme-efficient DMUs. This fact is a drawback in several applications, particularly when we need to know the tradeoffs and in Cross-Evaluation. We propose a solution using the geometric representation of DEA envelope model. In this representation the frontier is piece-wise linear, meaning that for the extreme-efficient DMUs there is no tangent plan to the DEA frontier, as these DMUs are the cusps of the faces. The solution consists in changing the original frontier by another with continuous partial derivatives in every point and being as close as possible to the original one. We obtained a smoothed frontier with similar properties to the original, but with tangent plans at all points. The multipliers are obtained from the tangent plans equations. We present the general case theoretical development, which makes use of a non-metric topology based on the generalisation of the arch length, whose minimisation leads to a non-exactly soluble variational problem. Approximate solutions are obtained by the Ritz variational method. We present the particular case of the three-dimensional DEA BCC model, applied to the evaluation of Brazilian airlines companies.

Keywords: DEA, Variational Methods, Smoothed Frontier, Airlines Evaluation

Resumo:

O modelo dos multiplicadores em DEA admite múltiplas soluções óptimas nas DMUs extremo-eficientes. Este facto acarreta dificuldades em várias aplicações, em especial quando há necessidade do conhecimento de razões de substituição (tradeoffs) e em Avaliação Cruzada. Neste artigo é proposta uma solução para este problema, com o uso da representação geométrica obtida do modelo do envelope. Nesta representação a fronteira é linear por partes, o que significa que nas DMUs extremo-eficientes não existe plano tangente à fronteira DEA, por serem estas DMUs os vértices das faces. Através da substituição da fronteira original por uma outra com derivadas contínuas em todos os pontos e o mais próximo possível da original, é obtida uma fronteira com propriedades semelhantes à original, mas com planos tangentes em todos os pontos. Da equação destes planos calculam-se os coeficientes do modelo dos multiplicadores. É apresentado o desenvolvimento teórico para o caso geral, que usa uma topologia não métrica baseada na generalização do comprimento de arco, cuja minimização conduz a um problema variacional sem solução exacta. Soluções aproximadas são obtidas pelo método variacional de Ritz. É exemplificado o caso particular do modelo DEA BCC tridimensional, aplicado à avaliação de companhias aéreas brasileiras.

Texto completo apenas disponível em PDF.

Full text only available in PDF format.

Referências Bibliográficas

Andersen, P., Petersen, N.C., A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis, Management Science 39 (10) (1993) 1261-1264.         [ Links ]

Anderson, T.R., Hollingsworth, K., Inman, L., The Fixed Weighting Nature of A Cross-Evaluation Model, Journal of Productivity Analysis 17 (3) (2002) 249-255.         [ Links ]

Banker, R.D., Charnes, A., Cooper, W.W., Some models for estimating technical scale inefficiencies in Data Envelopment Analysis, Management Science 30 (9) (1984) 1078-1092.         [ Links ]

Boyer, C.B., História da Matemática, Edgard Blücher Ltda., São Paulo (1978).         [ Links ]

Charnes, A., Cooper, W.W., Golany, B., Seiford, L., Stutz, J., Foundations of data envelopment analysis for Pareto-Koopmans efficient empirical production functions, Journal of Econometrics 30 (1985) 91-107.         [ Links ]

Charnes, A., Cooper, W.W., Rhodes, E., Measuring the Efficiency of Decision-Making Units, European Journal of Operational Research 2 (1978) 429-444.         [ Links ]

Chilingerian, J.A., Evaluating physician efficiency in hospitals: a multivariate analysis of best practices, European Journal of Operational Research 80 (1995) 548-574.         [ Links ]

Coelli, T., Rao, D.S.P., Battese, G.E., An Introduction to Efficiency and Productivity Analysis, Kluwer Academic Publishers (1998).         [ Links ]

Cooper, W.W., Seiford, L.M., Tone, K., Data Envelopment Analysis: A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software. Kluwer Academic Publishers, USA (2000).         [ Links ]

D'Ambrósio, U., Métodos da Topologia - Introdução e Aplicações, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, Rio de Janeiro (1977).         [ Links ]

Doyle, J., Green, R., Efficiency and cross-efficiency in DEA: Derivations, meanings and uses, Journal of the Operational Research Society 45 (5) (1994) 567-578.         [ Links ]

Elsgolts, L., Differential Equations and the Calculus of Variations, Mir Publishers, Moscow (1980).         [ Links ]

Farlow, S.J., Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover Books on Advanced Mathematics, Dover Publications (1993).         [ Links ]

Fukuda, K., cdd.c: C Implementation of the Double Description method for computing all vertices and extremal rays of a convex polyhedron given a system of linear inequalities, Department of Mathematics, Swiss Federal Institute of Technology, Lausanne, Switzerland (1993).         [ Links ]

Gal, T., Weakly redundant constraints and their impact on postoptimal analyses in LP, European Journal of Operational Research 60 (3) (1992) 315-326.         [ Links ]

Gomes, E.G., Soares de Mello, J.C.C.B., Serapião, B.P., Lins, M.P.E., Biondi, L.N., Avaliação de Eficiência de Companhias Aéreas Brasileiras: Uma Abordagem por Análise de Envoltória de Dados. In: Setti, J.R.A., Lima Júnior, O.F. (Eds.), Panorama Nacional da Pesquisa em Transportes 2001, Campinas, SP, Novembro 2 (2001) 125-133.         [ Links ]

Gonzalez-Araya, M.C., Uma metodologia para projetar DMUS em facets eficientes de maior dimensão, XXXIV Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional - SBPO, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, Outubro (2002).         [ Links ]

Hausdorff, F., Grundzüge der Mengenlehre, Chelsea Publishing Company, New York (1949).         [ Links ]

Koohyun, P., Yong-Sik, S., Iterative bundle-based decomposition for large-scale nonseparable convex optimization, European Journal of Operational Research 111 (3) (1998) 598-616.         [ Links ]

Lins, M.P.E., Angulo-Meza, L., Análise Envoltória de Dados e perspectivas de integração no ambiente de Apoio à Decisão, Editora da COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, Brasil (2000).         [ Links ]

Lins, M.P.E., Gomes, E.G., Soares de Mello, J.C.C.B., Soares de Mello, A.J.R., Olympic ranking based on a Zero Sum Gains DEA model, European Journal of Operational Research 148 (2) (2003) 85-95.         [ Links ]

Olesen, O.P., Petersen, N.C., Indicators of III conditioned data sets and model misspecification in data envelopment analysis: and extended facet approach, Management Science 42 (2) (1996) 205-219.         [ Links ]

Reddy, J.N., Introduction to the Finite Element Method, McGraw-Hill (1993).         [ Links ]

Reinhard, S., Lovell, C.A.K., Thijssen, G.J., Environmental efficiency with multiple environmentally detrimental variables estimated with SFA and DEA, European Journal of Operational Research 121 (2000) 287-303.         [ Links ]

Rosen, D., Schaffnit, C., Paradi, J.C., Marginal rates and two dimensional level curves in DEA, Journal of Productivity Analysis 9 (3) (1998) 205-232.         [ Links ]

Smith, D.R., Variational Methods in Optimization, Dover Books on Mathematics, Dover Publications (1998).         [ Links ]

Soares de Mello, J.C.C.B., Gomes, E.G., Biondi, L.N., Modelo DEA com restrições aos pesos para estabelecer uma classificação olímpica, Anais do XXV Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, Nova Friburgo, Rio de Janeiro, Brasil, Setembro (2002).         [ Links ]

Soares de Mello, J.C.C.B., Lins, M.P.E., Gomes, E.G., Construction of a smoothed DEA frontier, Pesquisa Operacional (2002) (a publicar).         [ Links ]

Soares de Mello, J.C.C.B., Lins, M.P.E., Gomes, E.G., Estimativa de planos tangentes à fronteira DEA em DMUs extremo-eficientes, Anais do XXXIII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional - SBPO, Campos do Jordão, SP, Brasil, Novembro (2001).         [ Links ]

Soares de Mello, J.C.C.B., Métodos variacionais em condução de calor, Tese de Mestrado, Coordenação de Pós-Graduação em Matemática, Universidade Federal Fluminense, Niterói, Brasil (1987).         [ Links ]

Soares de Mello, J.C.C.B., Suavização da fronteira DEA com o uso de métodos variacionais, Tese de Doutorado, Programa de Engenharia de Produção, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil (2002)         [ Links ]

Swokowski, E.W., Cálculo com Geometria Analítica, Makron Books do Brasil Editora Ltda., Rio de Janeiro (1995).         [ Links ]

Thanassoulis, E., A comparison of regression analysis and data envelopment analysis as alternative methods of performance assessment, Journal of the Operational Research Society 44 (11) (1993) 1129-1144.         [ Links ]